Direction de recherche : Antoine JOUX

Co-encadrement : FOUQUE Pierre-Alain

Aspects algorithmique des réseaux algébriques

Les réseaux sont des objets mathématiques qui généralisent l'idée concrète de grille dans le plan. Ils jouent un rôle fondamental dans l’étude de nombreux domaines des mathématiques et de l'informatique, notamment la théorie algébrique des nombres et la cryptographie. Ce manuscrit a pour objet les réseaux dits “algébriques", c'est-à-dire construits au-dessus d'un ordre maximal de corps de nombres, en se concentrant particulièrement sur les méthodes calculatoires. Après avoir développé des méthodes génériques autorisant la manipulation certifiée de tels objets, nous nous intéresserons à l’élaboration d'une algorithmique plus efficace permettant la réduction sur des corps cyclotomiques, utilisant en particulier leur structure recursive et symplectique. Ces dernières avancées seront alors utilisées pour la résolution d'un problème central en théorie algorithmique des nombres : le problème de l'idéal principal, qui consiste en la détermination d'un générateur d'un ideal principal d'un corps de nombre. Nous étudierons enfin les implications de cette étude en cryptographie à clef-publique, où nous présenterons des attaques sur des schémas d'encryption totalement homomorphes et sur la signature digitale BLISS.

Publications 2016-2020