GELIN Alexandre

Docteur
Équipe : ALMASTY
Date de départ : 26/09/2017
https://almasty.lip6.fr/~gelin/
Direction de recherche : Antoine JOUX
Co-encadrement : LENSTRA Arjen

Calcul de Groupes de Classes d’un Corps de Nombres et Applications à la Cryptologie

Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul du groupe de classes d'un corps de nombres. Nous débutons par décrire un algorithme de réduction du polynôme de définition d'un corps de nombres. Il existe une infinité de polynômes qui définissent un corps de nombres fixé, avec des coefficients arbitrairement gros. Notre algorithme calcule celui qui a les plus petits coefficients. L'avantage de connaître un petit polynôme de définition est qu'il simplifie les calculs entre éléments de ce corps de nombres, en impliquant des quantités plus petites. En outre, la connaissance d'un tel polynôme permet l'utilisation d'algorithmes plus efficaces que dans le cas général pour calculer le groupe de classes. L'algorithme général pour calculer la structure du groupe de classes repose sur la réduction d'idéaux, vus comme des réseaux. Nous décrivons et simplifions l'algorithme présenté par Biasse et Fieker en 2014 à ANTS et approfondissons l'analyse de complexité. Nous nous sommes aussi intéressés au cas des corps de nombres définis par un polynôme à petits coefficients. Nous décrivons un algorithme similaire au crible par corps de nombres (NFS) dont la complexité en fonction des paramètres du corps de nombres peut atteindre L(1/3). Enfin, nos algorithmes peuvent être adaptés pour résoudre un problème lié : le Problème de l'Idéal Principal. Étant donné n'importe quelle base d'un idéal principal (généré par un seul élément), nous sommes capables de retrouver ce générateur. Cette application de nos algorithmes fournit une attaque efficace contre certains schémas de chiffrement homomorphe basés sur ce problème.
Soutenance : 22/09/2017 - 14h - Site Jussieu 25-26/105
Membres du jury :
M. Andreas ENGE - Directeur de Recherche, Inria Bordeaux-Sud-Ouest & IMB [Rapporteur]
M. Claus FIEKER - Professeur, Université de Kaiserslautern [Rapporteur]
M. Karim BELABAS - Professeur, Université de Bordeaux
M. Louis GOUBIN - Professeur, Université de Versailles-St-Quentin-en-Yvelines
M. Antoine JOUX - Chaire de Cryptologie à la Fondation UPMC, Paris
M. Arjen LENSTRA - Professeur, École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mme Ariane MÉZARD - Professeur, Université Pierre et Marie Curie, Paris
M. Nigel SMART - Professeur, Université de Bristol
Situation professionnelle : Post-doctorat - Université Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines

Publications 2016-2017

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