COMBINATOIRE DES GROUPES À CROISSANCE POLYNOMIALE

R. INCITTI

IBP-Litp 1995/Th/06: THÈSE de DOCTORAT de l'UNIVERSITÉ PARIS 6 Litp / Litp research reports
69 pages - Juin/June 1995 - French document.

PostScript : Ko /Kb

Titre / Title: COMBINATOIRE DES GROUPES À CROISSANCE POLYNOMIALE

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions d'un point de vue combinatoire le théorème de M. Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Nous donnons un aperçu de la démonstration géométrique de Gromov, et nous présentons une construction qui permet de visualiser certains espaces métriques qu'il définit. Nous abordons ensuite le problème de la recherche d'une démonstration combinatoire. Nous montrons qu'il y a une différence qualitative entre le cas de la croissance linéaire et celui d'une croissance de degré strictement supérieur à un. Nous montrons qu'elle nait d'un problème de périodicité de mots infinis. Ce point de vue nous permet de redémontrer le résultat de Gromov dans le cas linéaire avec un argument combinatoire. Pour aborder le cas de croissance plus grand, nous introduisons une propriété, que nous appelons rigidité. Elle permet de ramener à des problèmes de combinatoire des mots une partie importante de l'étude algébrique des groupes à croissance supérieure à un ; nous l'utilisons pour montrer d'une façon combinatoire qu'un groupe dont la croissance est inférieure à une certaine fonction quadratique ne peut pas être périodique. La partie finale de la thèse est consacrée à l'extension des résultats au cas des semigroupes.

Abstract : In this thesis we study from a combinatorial point of view Michael Gromov's theorem on groups of polynomial growth. We make a survey on his geometrical proof and present a construction which allows to visualize certain metric spaces he defines in it. Then we deal with the problem of giving a combinatorial proof. We show that there is a qualitative difference
between the case of linear growth and that of higher growth. We show that it comes out from a problem of periodicity of infinite words. This point of view allows us to show Gromov's result in the linear case with a combinatorial argument. To treat the case of higher growth, we introduce a property which we call rigidity. It allows us to transform an important part the algebraic problem in a problem of combinatorics on words. We use it to show in a completely combinatorial way that a group whose growth function is less or equal to a certain quadratic function cannot be periodic. In the final part of the thesis we extend our results to semigroups.

Publications internes Litp 1995 / Litp research reports 1995