The lattice theory of r-ordered partitions

M. SERFATI

IBP-Litp 1995/34: Rapport de Recherche Litp / Litp research reports
32 pages - Juin/June 1995 - Document en anglais.

PostScript : Ko /Kb

Titre / Title: The lattice theory of r-ordered partitions

Résumé : Pour tout entier r „ 2 et tout ensemble W , on définit l'ensemble P r ( W ) de toutes les r- partitions ordonnées de W .On définit d'abord une relation d'ordre ¾ telle que
( P r ( W ) , ¾ ) soit un treillis distributif complet avec 0 et 1 . On distingue dans entre deux catégories de r-partitions ordonnées : d'un côté les quasi-ensembles d'ordre r , et de l'autre , les r- partitions véritables . P 2( W ) est isomorphe à P ( W ) ; d'autre part , pour tout r, P r ( W ) contient P ( W ) comme son centre, à un isomophisme près . On définit sur P r ( W ) une structure d' anneau commutatif unitaire de caractéristique r . A toute mesure positive m sur P ( W ) , on associe également une distance d sur P r ( W ) de sorte que ( P r ( W ) , d ) soit un espace métrique complet , dont le centre est un sous - espace fermé .Etant donnée une r - partition ordonnée P quelconque , on peut explicitement calculer la distance de P au centre de P r ( W ) et décrire les quasi -ensembles les plus proches de P. Une application intéressante est le cas où W est fini et m ( A ) = Card ( A) .

Abstract : Given any integer r „ 2 and any set W , we define the set P r ( W ) of all the r-ordered partitions of W . We define an order relation ¾ such that ( P r ( W ) , ¾ ) is a ( 0 ,1 ) - complete distributive lattice . We then state a distinction between two kinds of r-ordered partitions : the quasi - sets of order r on one hand , and the actual partitions on the other hand .P 2( W ) is isomorphic to P ( W ) and ; and also ,for every r, P r ( W ) contains P ( W ) - up to isomorphism - as its center . We also define on P r ( W ) a structure of commutative ring with unit , of characteristic r . Associated to any positive measure m on P ( W ) , we introduce a distance d on P r ( W ) in such a way that P r ( W ) , d ) is a complete metric space , the center of which is proved to be a closed metric subspace .Given any r -ordered partition P , we can effectively compute the shortest distance from P to the center of
P r ( W ) as well as explicitely describe those of the quasi - sets in
P r ( W ) the nearest from P .An interesting case is W is finite and
m ( A ) = Card ( A)

Publications internes Litp 1995 / Litp research reports 1995