Supervision : Jean-Marie CHESNEAUX

Co-supervision : JÉZÉQUEL Fabienne

Contrôle dynamique du calcul d'intégrales multiples

La fiabilité du calcul des intégrales définies monodimensionnelles avait fait l'objet de plusieurs études au sein du laboratoire LIP6. Pour différentes méthodes de quadrature numérique, une stratégie de calcul avait été proposée afin d'obtenir le résultat pour lequel l'erreur globale, combinant erreur mathématique et erreur d'arrondi, est minimale. Les intégrales multiples peuvent être évaluées en utilisant le principe des intégrales itérées qui consiste à calculer plusieurs intégrales monodimensionnelles par une méthode de quadrature. La première approche traitée dans cette thèse est la validation numérique de ce type de calcul. Nous avons alors démontré que, pour chaque dimension du domaine d'intégration, le pas optimal peut être déterminé de manière dynamique. Cette thèse a également porté sur la validation numérique des intégrales évaluées sur un domaine infini. La stratégie de calcul proposée consiste alors à calculer une suite convergente dont l'itéré de précision optimale est déterminé dynamiquement. La deuxième approche étudiée a porté sur les méthodes de cubature qui permettent l'approximation d'une intégrale multiple par une formule adaptée au domaine d'intégration considéré. Une stratégie, fondée sur l'utilisation d'une formule de cubature sur plusieurs sous-domaines, a été proposée afin d'obtenir un résultat de précision optimale. Le contrôle dynamique du calcul d'intégrales multiples par méthodes de cubature a été effectué sur des domaines de type hypercube. Pour chaque approche étudiée, nous avons montré comment déterminer quels chiffres significatifs du résultat sont en commun avec la vraie valeur de l'intégrale. Nous avons développé un logiciel nommé ACIM (Atelier de Calcul d'Intégrales Multiples) qui permet un calcul convivial et fiable des intégrales multiples en utilisant, soit le principe des intégrales itérées, soit les méthodes de cubature au choix de l'utilisateur.

2002-2006 Publications

• 2006
  • F. Jézéquel, F. Rico, J.‑M. Chesneaux, M. Charikhi : “Reliable computation of a multiple integral involved in the neutron star theory”, Mathematics and Computers in Simulation, vol. 71 (1), pp. 44-61, (Elsevier) (2006)
• 2005
  • M. Charikhi : “Contrôle dynamique du calcul d’intégrales multiples”, thesis, defence 01/14/2005, supervision Chesneaux, Jean-Marie, co-supervision : Jézéquel, Fabienne (2005)
• 2003
  • F. Jézéquel, F. Rico, J.‑M. Chesneaux, M. Charikhi : “Dynamical control of a multiple integral using Discrete Stochastic Arithmetic”, Dagstuhl Seminar, Dagstuhl, Germany (2003)
• 2002
  • M. Charikhi, J.‑M. Chesneaux, F. Jézéquel, F. Rico, L. Villain : “A dynamical computation of a multiple integral involved in the neutron star theory”, SCAN 2002 - 10^th GAMM - IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics, Paris, France (2002)
  • M. Charikhi, J.‑M. Chesneaux, F. Jézéquel : “Dynamical control of computations of multiple integrals”, SCAN 2002 - 10^th GAMM - IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics, Paris, France (2002)