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RENAULT Guénaël

Dottore di ricerca
Gruppo di ricerca : SPIRAL
Data di partenza : 08/31/2006
Relatore : Annick VALIBOUZE

Calcul efficace de corps de décomposition

Cette these traite des aspects effectifs de la theorie de Galois. Son axe principal est le calcul du corps de décomposition d'un polynome f et de la représentation symétrique de son groupe de Galois. Ici, le corps de décomposition de f est représenté à l'aide d'un idéal des relations de ce polynome. Nous nous attachons à améliorer l'efficacité de ces calculs en prenant en compte le lien entre cet idéal et le groupe de Galois de f. Dans la première partie, nous étudions les idéaux de Galois et les variétés algébriques qui leur correspondent. Nous donnons un algorithme pour le calcul du groupe des permutations laissant stable un idéal triangulaire en n indéterminées. Nous montrons que cet algorithme nécéssite au plus O(n^3) calculs de formes normales dans le cas d'un idéal de Galois pur. En corollaire, nous obtenons un algorithme pour le calcul d'une représentation symétrique du groupe de Galois d'un corps de décomposition qui est de meilleur complexité que ceux connus auparavant.
Dans la deuxième partie, nous étudions le calcul simultané d'un idéal des relations du polynome f et de la représentation symétrique du groupe de Galois correspondant. Nous montrons comment utiliser les informations intermédiaires de la factorisation dans les extensions afin d'améliorer l'efficacité du calcul. Nous appliquons ce principe dans une méthode qui commence par factoriser le polynome sur son corps de rupture et termine en utilisant l'algorithme GaloisIdéal de A. Valibouze. Dans la troisième partie, nous revisitons un algorithme de K. Yokoyama. Cet algorithme prend en entrée l'action du groupe de Galois du polynome f sur des approximations p-adiques de ses racines et retourne un idéal des relations de f. Pour ce faire, il doit résoudre des systèmes linéaires. Nous montrons comment l'optimiser en évitant des calculs et en réduisant la taille des systèmes linéaires qui restent à résoudre.
Difesa : 06/16/2005 - 10h30 - Site Scott - salle C.044
Membri della commissione :
MORAIN François Professeur associé en informatique Laboratoire d'Informatique de l'école polytechnique (LIX) [Rapporteur]
MACHI Antonio Professore associato (Université de Rome - Italie) [Rapporteur]
LAZARD Daniel Professeur émérite (LIP6/UPMC)
CHARPIN Pascale Directeur de Recherche (Projet CODES/INRIA)
ULMER Felix Professeur (IRMAR/Université de Rennes 1)
VALIBOUZE Annick Professeur (LIP6/UPMC) [Directeur]

3 Dottore di ricerca 2012 - 2015

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