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BARDET Magali

Dottore di ricerca
Gruppo di ricerca : SPIRAL
Data di partenza : 12/31/2005
Relatore : Jean-Charles FAUGÈRE
Co-relazione : AUGOT Daniel

Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie

Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues).
Dans le cas générique ("aléatoire"), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous avons étendu ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m>n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m=2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (Faugère) de calcul de base de Gröbner.
Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précedemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.
Difesa : 12/08/2004 - 14h30 - Site Scott - salle C.044
Membri della commissione :
Mme Brigitte Vallée, Directrice de Recherche, Univ. de Caen - Rapporteurs
M. Patrick Fitzpatrick, Professeur, Univ. de Cork (Irlande) - Rapporteurs
M. Jean-Marie Chesneaux, Professeur, Univ. Paris 6, - Examinateurs
M. Antoine Joux, DGA et Professeur associe (PAST) à l'UVSQ, - Examinateurs
M. Daniel Lazard, Professeur, Univ. Paris 6, - Examinateurs
M. Bruno Salvy, Directeur de Recherche, INRIA Rocquencourt, - Examinateurs
M. Daniel Augot, Chargé de Recherche, INRIA Rocquencourt, - Directeur
M. Jean-Charles Faugère, Chargé de Recherche, CNRS/Univ. Paris 6, - Directeur

Pubblicazioni 2003-2015

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