Une forme normale pour les DAE linéaires

M.P Quéré, G. Villard

IBP-Litp 1994/65: Rapport de Recherche Litp / Litp research reports
65 pages - Octobre/October 1994 - French document.

Titre / Title: Une forme normale pour les DAE linéaires

Résumé : Nous nous intéressons aux Equations Différentielles algébriques à coefficients variables, ou DAE, du type B(t)Y'(t)=A(t)Y(t)+f(t). Ces équations sont largement étudiées en analyse numérique. Des formes normales ont été proposées qui permettent de prouver l'existence et l'unicité des solutions et de calculer les conditions initiales consistantes. Cependant la situation où l'équation admet une infinité de solutions étant donnée une condition initiale n'étant en général pas envisagée dans un contexte numéricien peu d'algorithmes existent dans ce cas. Parmi ceux-ci on trouve le travail de P. Kunkel et V. Mehrmann. Les auteurs proposent de nouvelles quantités caractéristiques de l'équation qui fournissent une généralisation de la notion d'indice global. En outre, cela conduit aussi à une généralisation de la forme normale de Weiestrass-Kronecker aux faisceaux non constants. Notre contribution est de montrer que ces dernières quantités imposent des hypothèses trop restritives sur les équations en entrée. Nous en proposons de nouvelles définitions qui conduisent à une nouvelle forme normale et nous permettent de traiter une classe plus large d'équations.

Abstract : We study linear Differential Algebraic Equations, DAE, with time varying coefficients. Such equations B(t)Y'(t)=A(t)Y(t)+f(t) are intensively studied from a numerician point of view. Some canonical forms has been proposed to find under which conditions the equation has a solution, to find the set of consistent initial conditions and to determine under which conditions are there unique solutions. However, since the situation where the system admits infinitely many solutions for one initial value is not really tractable in a numerician framework, few algorithms may be found in this latter case. Among them we find the method of P. Kunkel and V. Mehrmann who propose a new set of local characterizing quantities for the treatment of the system. This leads to a generalization of the global index and somehow to a generalization of the Weiestrass-Kronecker form to time dependent pencils. In this paper we show that these latter characterizing quantities impose too restrictive conditions on the input equations. We propose new definitions for them that lead to a new normal form and allow us to treat a broader class of equations.

Publications internes Litp 1994 / Litp research reports 1994