Noncommutative symmetric functions

I.M. Gelfand, D. Krob, A. Lascoux, B. Leclerc, V.S. Retakh, J.Y. Thibon

IBP-Litp 1994/39: Rapport de Recherche Litp / Litp research reports
109 pages - Décembre/December 1994 - Document en anglais.

Titre / Title: Noncommutative symmetric functions

Résumé : Cet article présente les fondements et quelques applications d'une théorie non commutative des fonctions symétriques, basée sur la notion de quasi-déterminant. Nous commençons par présenter une théorie formelle, correspondant au cas des fonctions symétriques d'une infinité de variables indépendantes, ce qui permet de munir l'algèbre obtenue d'une structure de Hopf, comme dans le cas commutatif. Cette structure conduit à une nouvelle méthode de calcul d'idempotents dans l'algèbre des descentes de Solomon et permet de réintégrer de manière unifiée un certain nombre de constructions classiques. Nous étudions ensuite les analogues non commutatifs des polynômes symétriques. On aboutit à des constructions différentes selon le type d'applications envisagées. Par exemple, lorsqu'un polynôme à coefficients non commutatifs en une variable centrale est décomposé en produit de facteurs linéaires, les racines de ces facteurs ne coïncident pas avec les racines du polynôme développé. Ainsi, selon qu'on s'intéresse à la formation d'un polynôme ayant des racines données ou au développement d'un produit de facteurs linéaires, on, doit considérer deux spécialisations différentes des fonctions symétriques formelles. Un troisième type apparaît lorsqu'on cherche à étendre les applications liées à la notion de polynôme caractéristique d'une matrice, telles que le Théorème Maître de McMahon. Cette construction s'applique par exemple à la matrice non commutative formée par les générateurs de l'algèbre enveloppante U ( gln ) ou à celle du groupe quantique GL q (n ). Enfin, nous appliquons les fonctions symétriques à l'étude des polynômes orthogonaux et les approximants de Padé non commutatifs, et en tirons une nouvelle notion de déterminant non commutatif, le pseudo-déterminant, qui permet de retrouver le déterminant classique de Capelli et le déterminant quantique. Nous établissons aussi un théorème de Cayley-Hamilton pour la matrice générique au moyen de ces pseudo-déterminants.

Abstract : This paper presents the foundations and some applications of a noncommutative theory of symmetric functions, based on the notion of quasi-déterminant. We begin with a formal theory, corresponding to the case of symmetric functions in an infinite number of independent variables. This allows us to endow the resulting algebra with a Hopf structure, which leads to a new method for computing idempotents in Solomon's descent algebras. It also gives unified reinterpretation of a number of classical constructions. Next, we study the noncommutative analogs of symmetric polynomials. One arrives at different constructions, according to the particular kind of application under consideration. For example, when a polynomial with noncommutative coefficients in one central variable is decomposed as a product of linear factors, the roots of these factors differ from those of the expanded polynomial. Thus, according to whether one is interested in the construction of a polynomial with given roots or in the expansion of a product of linear factors, one has to consider two distinct specializations of the formal symmetric functions. A third type appears when one looks for a noncommutative genertalization of applications related to the notion of characteristic polynomial of a matrix, such as McMahon's Master Theorem. This construction can be applied, for instance, to the noncommutative matrices formed by the genarators of the universal enveloping alghebra U(gln) or of the quantum group GLq(n). Finally, we apply symmetric functions to the study of rational power series with coefficients in a skew field. We discuss in particular noncommutative continued fractions, orthogonal polynomials and Padé approximants, and we obtain a new notion of noncommutative determinant, the pseudo-determinant, from which we can recover the classical Capelli determinant and the quantum determinant. Also, a Cayley-Hamilton theorem for the generic matrix is obtained by means of these pseudo-determinants.

Publications internes Litp 1994 / Litp research reports 1994