Profinite categories and semidirect products

J. Almeida , P. Weil

IBP-Litp 1994/35: Rapport de Recherche Litp / Litp research reports
50 pages - Décembre/December 1994 - Document en anglais.

Titre / Title: Profinite categories and semidirect products

Résumé : Après avoir développé une théorie des opérations implicites et prouvé un analogue du théorème de Reiterman pour les catégories, nous traitons dans ce travail de deux questions complémentaires sur les produits semidirects et semidirects bilatéraux de pseudovariétés de semigroupes : déterminer les pseudoidentités qui y sont valides, et en trouver une base de pseudoidentités. La première question impose l'étude de la structure d'objets profinis relativement libres. Pour la seconde question, nous présentons une méthode générale qui permet le calcul de nombreux produits semidirects : il s'agit de traduire de façon systématique les bases de pseudoidentités de pseudovariétés de catégories en caractérisations de produits semidirects de pseudovariétés de semigroupes. Ces caractérisations, de nature syntaxique, ne sont pas effectives, mais peuvent être ramenées dans de nombreux cas à des caractérisations effectives. Les preuves de plusieurs résultats connus illustrent notre méthode Ð y compris une preuve syntaxique d'une généralisation du théorème du délai Ð et de nouveaux résultats sont démontrés à l'aide des mêmes techniques.

Abstract : After developing a theory of implicit operations and proving an analogue of Reiterman's theorem for categories, this paper addresses two complementary questions for semidirect products and two-sided semidirect products of pseudovarieties of semigroups: to determine when a pseudoidentity is valid in it, and to find a basis of pseudoidentities. The first question involves looking into the structure of relatively free profinite objects whereas, for the second question, a general approach is presented which is sufficiently powerful to allow the calculation of many semidirect products. A systematic translation of bases of pseudoidentities of pseudovarieties of categories into characterizations of semidirect products of pseudovarieties of semigroups is given. The latter characterizations, of a syntactic nature, are not effective but may in many cases be reduced to effective characterizations. Several known results are derived as examples Ð including a syntactic proof of a generalization of the Delay Theorem Ð and further new applications are obtained using these techniques.

Publications internes Litp 1994 / Litp research reports 1994